Annales de mathématiques approfondies

Sujet et corrigé HEC / ESCP · Maths II 1982 – remis au programme ECG

Adapté au nouveau programme ECG. Ce sujet de 1982 et son corrigé ont été retravaillés pour correspondre au programme en vigueur.

Thèmes du sujet

Analyse : équation ln x = 1/x², famille de fonctions e^{−λx} ln(x + λ) et leurs maxima, puis équivalent de l'intégrale Iₙ = ∫₀^{+∞} e^{−nx} ln(n + x) dx.

Plan du sujet

  1. Partie I : la fonction φ(x)=ln⁡x−1x2\varphi(x)=\ln x-\frac1{x^2}
  2. Partie II : la famille gλ(x)=e−λxln⁡(x+λ)g_\lambda(x)=e^{-\lambda x}\ln(x+\lambda)
  3. Partie III : l'intégrale In=∫0+∞e−nxln⁡(n+x) dxI_n=\int_0^{+\infty}e^{-nx}\ln(n+x)\,dx